Question

已知f(x)=log₃,x∈(0,+∞)时,是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件:①在(0,1)上是减函数,在［1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：∵f(x)在(0,1)上是减函数,在［1,+∞)上是增函数,

∴x=1时,f(x)最小,log₃=1.

∴a+b=2.

    设0＜x₁＜x₂≤1,则f(x₁)＞f(x₂),即＞0恒成立.

    又x₁-x₂＜0,∴x₁x₂-b＜0恒成立,则b≥1.

    设1＜x₃＜x₄＜+∞,则f(x₃)＜f(x₄)恒成立,

    即＜0恒成立.

    因为x₃-x₄＜0,所以x₃x₄＞b恒成立,则b≤1.

    综上,得b=1,a=1.