Question

如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0,b≠0),且交抛物线y²=2px(p＞0)于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)两点.

(1)写出直线l的截距式方程;

(2)证明+=;

(3)当a=2p时,求∠MON的大小.

Answer 1

剖析：易知直线l的方程为+=1,欲证+=,即求的值,为此只需求直线l与抛物线y²=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值,进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由k_OM·k_ON=-1求得∠MON=90°.

(1)解：直线l的截距式方程为+=1.                                   ①

(2)证明：由①及y²=2px消去x可得by²+2pay-2pab=0.           ②

    点M、N的纵坐标y₁、y₂为②的两个根,故y₁+y₂=,y₁y₂=-2pa.

    所以+===.

(3)解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂,

    则k₁=,k₂=.

    当a=2p时,由(2)知,y₁y₂=-2pa=-4p²,

    由y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,相乘得

    (y₁y₂)²=4p²x₁x₂,

    x₁x₂===4p²,因此k₁k₂===-1.

    所以OM⊥ON,即∠MON=90°.

讲评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.