Question

【题目】（本小题满分12分）

已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性；

(3)求证：当时，

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 在上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出的导函数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得的值；（2）对原函数求导，得 ，讨论与作比较，则本题转化为求的最值，由导数可求的最小值，得在给定的范围内为增函数；（3）本题可转化为证明，由的单调性得得，利用导数可证明函数的单调性，得证 ，则此题得证.

(1) ，

令,得，解得.

（2）由(1)知， ， .

再令 则

当时, , 递增;当时， , 递减;

∴在处取得唯一的极小值，即为最小值.

即 ∴,

∴在上是增函数.

(3) 要证，即证 ，

由(1)知，当 时， 为增函数，

故 故.

令 ，则，

∵, ∴ ∴ 即在上是减函数，

∴时， ，

所以， 即 .

所以.