Question

（2013•松江区一模）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，由已知得

20a+b=0 4a+b=2

，能求出函数v（x）．
（2）依题意并由（1），得f（x）=

2x，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x2+ 5 2 x，4≤x≤20，x∈N*.

，当0≤x≤4时，f（x）为增函数，由此能求出f_max（x）=f（4），由此能求出结果．

解答：解：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．…（2分）
当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，
由已知得

20a+b=0 4a+b=2

，
解得

a=- 1 8 b= 5 2

…（4分）
故函数v（x）=

2，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x+ 5 2 ，4≤x≤20，x∈N*

…（6分）
（2）依题意并由（1），
得f（x）=

2x，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x2+ 5 2 x，4≤x≤20，x∈N*.

，…（8分）
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故f_max（x）=f（4）=4×2=8．…（10分）
当4≤x≤20时，f(x)=-

1

8

x2+

5

2

x=-

1

8

(x2-20x)=-

1

8

(x-10)2+

100

8

2，
f_max（x）=f（10）=12.5．…（12分）
所以，当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，
鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…（14分）

点评：本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数有生产生活中的实际应用．