Question

如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中a_u（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且a_u∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
对于A∈S（n，n），记r_i（A）为A的第i行各数之积，c_j（A）为A的第j列各数之积．令l（A=

n

i-1

ri（A）+

n

j-1

cj（A））．
（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A₀如何得到A₁，…依此类推即可得到A_k．

解答：（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．

-1	-1	-1	-1
1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1

（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．                 
证明如下：
假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
因为r_i（A）∈{1，-1}，c_j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，9），
所以r₁（A），…，r₉（A）；c₁（A），…，c₉（A），这18个数中有9个1，9个-1．
令M=r₁（A）•…r₉（A）c₁（A）…c₉（A）．
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而M=-1．  ①
另一方面，r₁（A）•…r₉（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c₁（A）•…c₉（A）也表示m，从而M=m²=1．             ②
①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．        
（Ⅲ）解：记这n²个实数之积为P．
一方面，从“行”的角度看，有P=r₁（A）•r₂（A）…r_n（A）；
另一方面，从“列”的角度看，有P=c₁（A）c₂（A）…c_n（A）．
从而有r₁（A）•r₂（A）…r_n（A）=c₁（A）c₂（A）…c_n（A）．     ③
注意到r_i（A）∈{1，-1}，c_j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，n），
下面考虑r₁（A），…，r_n（A）；c₁（A），…，c_n（A），这些数中-1的个数：
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n-2k，
所以l（A）=（-1）×2k+1×（2n-2k）=2（n-2k）．         
  对数表A₀：a_ij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A₀）=2n．
将数表A₀中的a₁₁由1变为-1，得到数表A₁，显然l（A₁）=2n-4．
将数表A₁中的a₂₂由1变为-1，得到数表A₂，显然l（A₂）=2n-8．
依此类推，将数表A_k-1中的a_kk由1变为-1，得到数表A_k．
即数表A_k满足：a₁₁=a₂₂=…=a_kk=-1（1≤k≤n），其余a_ij=1．
所以 r₁（A）=r₂（A）=…=r_k（A）=-1，c₁（A）=c₂（A）=…=c_k（A）=-1．
所以l（A_k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k．
由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n-2k）|k=0，1，2，…n}．

点评：正确理解数表A的结构特点及l（A）的性质是解题的关键．注意由特殊到一般的思想方法和反证法的应用．本题需要较强的逻辑推理能力．