Question

已知椭圆E₁： E₂：．E₁与E₂有相同的离心率，过点F（）的直线l与E₁，E₂依次交于A，C，D，B四点（如图）．当直线l过E₂的上顶点时，直线l的倾斜角为．
（1）求椭圆E₂的方程；
（2）求证：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据当直线l过E₂的上顶点时，直线l的倾斜角为，且椭圆的离心率是，建立方程，即可求得椭圆E₂的方程；
（2）当直线l垂直x轴时，易求得|AC|=|DB|．当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系得出x₁+x₂=x₃+x₄从而有|AC|=|DB|．
（3）由（2）知，|AC|=|CD|+2，先分类讨论：当直线l垂直x轴时，不合要求；当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由（2）知，x₁+x₂=x₃+x₄，x₁x₂，x₃x₄，利用弦长公式即可得关于k的方程，从而解决问题．
解答：解：（1）∵b=1，，∴a=2，b=1，
因此椭圆E₂的方程为x²+y²=1．
（2）当直线l垂直x轴时，易求得A（-，-），C（-，-），D（-，），B（-，）
因此|AC|=|DB|．
当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-）
由
得（1+4k²）x²+8k²x+12k²-4=0     ①，
由
得（1+4k²）x²+8k²x+12k²-10=0   ②，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则x₃、x₄是方程①的解，
x₁、x₂是方程②的解．∵x₁+x₂=x₃+x₄=，
线段AB，CD的中点重合，∴|AC|=|DB|．
（3）．由（2）知，|AC|=|CD|+2，
当直线l垂直x轴时，不合要求；
当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由（2）知，
x₁+x₂=x₃+x₄=，x₁x₂=，
x₃x₄=，|CD|==，
|AB|==，
∴+2=，
化简可得：8k⁴-2k²-1=（4k²+1）（2k²-1）=0，
∴k=，
∴l：y=（x+）．
点评：本题考查椭圆与椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．