Question

本题包括A、B两小题，考生都做．
A选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

a b c d

，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=

1 1

，属于特征值-1的一个特征向量为α2=

1 -1

，求矩阵A．
B选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-

π

4

)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线l交于A、B两点，求AB．

Answer 1

分析：A、利用矩阵特征值、特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵A；
B、（1）利用参数方程可得

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

且θ∈[0，π），从而可得直线l的倾斜角；
（2）求出l的普通方程，ρ=2cos(θ-

π

4

)的直角坐标方程，求出圆心到直线l的距离，即可计算|AB|．

解答：A解：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=

1 1

可得

a b c d

1 1

=3

1 1

，
即

a+b=3 c+d=3

；            …（4分）
由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=

1 -1

，可得

a b c d

1 -1

=（-1）

1 -1

，
即

a-b=-1 c-d=1

…（6分）
解得

a=1 b=2 c=2 d=1

，即矩阵A=

12 21

…（10分）
B解：（1）设直线l的倾斜角为θ，则

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

且θ∈[0，π），∴θ=

π

3

，即直线l的倾斜角为

π

3

…（5分）
（2）l的普通方程为y=

3

x+

2

2

，ρ=2cos(θ-

π

4

)的直角坐标方程为(x-

2

2

)2+(y-

2

2

)2=1，
所以圆心(

2

2

，

2

2

)到直线l的距离d=

6

4

，
∴|AB|=

10

2

…（10分）

点评：本题是选做题，考查矩阵与变换，考查坐标系与参数方程，考查学生的计算能力，属于中档题．