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已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a
x
,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;
(2)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1,求C1与f(x)对应曲线C2的交点个数,并说明理由.
分析:(1)先根据f'(1)=0求出a的值,然后求出g′(x),最后解g′(x)>0与g′(x)<0,即可求出函数g(x)的单调区间;
(2)由题意知C1:h(x)=x-2
x
+6
,问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2
x
+6)=0
在(0,+∞)上解的个数,然后利用导数研究函数的单调性,从而可判定解的个数.
解答:(Ⅰ)∵f′(x)=2x-
a
x

∴f'(1)=2-a=0,∴a=2
g(x)=x-2
x

g′(x)=1-
1
x
>0
,得x>1;由g′(x)=1-
1
x
<0
,得0<x<1.
∴g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(5分)
(3)由题意知C1:h(x)=x-2
x
+6

问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2
x
+6)=0
在(0,+∞)上解的个数
G(x)=2x-2
1
x
-1+
1
x
=
2x2-2-x+
x
x
=
(
x
-1)(2x
x
+2x+
x
+2)
x

由G'(x)>0,得x>1;由G'(x)<0,得0<x<1.
∴G(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减.
又G(1)=-4<0,所以G(x)=x2-2lnx-(x-2
x
+6)=0
在(0,+∞)上有2个解.
即C1与f(x)对应曲线C2的交点个数是2.(12分)
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的单调性和图象交点问题,同时考查了转化的思想,属于中档题.
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12
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②x2f(x1)>x1f(x2);
f(x1)+f(x2)
2
<f (
x1+x2
2
).
其中正确结论的序号是
 
(把所有正确结论的序号都填上).

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(4k-1)ln
1
x
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是增函数
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x
,且g(x)在x=1处取得极值.
(Ⅰ)求函数g(x)在x=2处的切线方程;
(Ⅱ)求函数h(x)的单调区间;
(Ⅲ)把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2,求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数,并说明理由.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

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1
x
]=2,则f(
1
5
)=(  )

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