Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求的单调递增区间；

（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数，其中，求证：存在极小值且该极小值小于.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求导，通过导论参数和，根据导数值大于零，求出对应增区间即可

（2）当时，，由（1）知切点即为，可求出，求出，先求导，再根据导数值正负进一步判断函数增减性，确定极值点，求证在该极值点处函数值小于即可

解：（1），，

当时，，的单调增区间是；

当时，由可得，

综上所述，当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是.

（2）易知切点为，

由得，，

所以

设，

则在上是增函数，

，

当时，，

所以在区间内存在唯一零点，

即.

当时，；当时，；

当时，，

所以存在极小值.

又，则，故，

故存在极小值且该极小值小于.