Question

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（10）=20，又f（1），f（3），f（9）成等比数列．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设a_n=2^f（n）+2n，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）=kx+b（k≠0），根据已知条件可求k与b；
（II）由于a_n=2²ⁿ+2n，可用分组求和的方法求其前n项和S_n．

解答：解：（I）∵f（x）=kx+b（k≠0），
∴f（1）=k+b，f（3）=3k+b，f（9）=9k+b，
因为f（1），f（3），f（9）成等比数列
所以f²（3）=f（1）•f（9），
所以kb=0，又k≠0，所以b=0，
∵f（10）=20，解得k=2，
∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x…（6分）
（II）∵a_n=2²ⁿ+2n…（8分）
∴Sn=4+42+43+…+4n+2(1+2+3+…+n)=

4n+1-4

3

+n2+n…（13分）

点评：本题考查数列求和，主要考查学生分组求和的应用及等差数列与等比数列的公式法求和的应用，是中档题．