Question

【题目】已知函数，函数与有相同极值点.

（1）求函数的最大值；

（2）求实数的值；

（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1），所以在上为增函数，在上为减函数，故函数的最大值为；（2）由（1）得极值点为，故，解得；（3）由于，故，由于，故，后面根据的正负进行分类讨论，由此求出实数的取值范围为.

试题解析：

（1），

由，得；由，得

∴在上为增函数，在上为减函数，

∴函数的最大值为.

（2）因为，所以，

由（1）知，是函数的极值点，又因为函数与有相同极值点，

∴是函数的极值点，∴，解得

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意

（3）因为，，

∵，即，∴，

，，由（2）知，，

∴

∴在上，；当时，

∴在上为减函数，在上为增函数，

∵，，，而，

∴

∴，，

①当，即时，对于，不等式恒成立

即，∵，

∴，由，得.

②当时，即，对于，不等式恒成立

即，

∵，∴

综上所述，所求的实数的取值范围为.