Question

已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，则函数F(x)=xf(x)+

1

x

的零点个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：将函数F(x)=xf(x)+

1

x

=0，转化为xf（x）=-

1

x

，然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）=xf（x）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．

解答：解：由F(x)=xf(x)+

1

x

=0，得xf（x）=-

1

x

，
设 g（x）=xf（x），
则g'（x）=f（x）+xf'（x），
∵x≠0时，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴x≠0时，

f(x)+xf′(x)

x

＞0，
即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
此时g（x）＞g（0）=0，
当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
此时g（x）＜g（0）=0，
作出函数g（x）和函数y=-

1

x

的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F(x)=xf(x)+

1

x

的零点个数为0个．
故选：A．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．