Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)对函数求导，结合二次函数的性质讨论的范围，即可判断的单调性；(2)由存在不动点，得到有实数根，即有解，构造函数令，通过求导即可判断的单调性，从而得到的取值范围，即可得到的范围。

(1)的定义域为，

对于函数，

①当时，即时，在恒成立.

在恒成立.

在为增函数；

②当，即或时，

当时，由，得或，，

在为增函数，减函数.

为增函数，

当时，由在恒成立，

在为增函数。

综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数。

（2），

存在不动点，方程有实数根，即有解，

令，，

令，得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

，

当时，有不动点，

的范围为.