Question

【题目】已知，其中.

（1）求函数的极大值点；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）＜1

【解析】试题分析：

(1)首先求得导函数，然后分类讨论可得当≤1或=2时，无极大值；当1＜＜2时的极大值点位；当＞2时的极大值点为；

(2)原问题等价于当时，＞，结合(1)的结论计算可得的取值范围是＜1.

试题解析：

（1）由已知=，＞0

当-1≤0，即≤1时，在（0,1）上递减，在（1,+∞）上递增，无极大值

当0＜-1＜1，即1＜＜2时在（0,-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1,+∞）上递增，所以在处取极大值

当-1=1时，即=2时，在（0,+∞）上递增，无极大值

当-1＞1时，即＞2时，在（0,1）上递增，在（1，-1）上递减，在（-1,+∞）上递增，故在处取极大值

综上所述，当≤1或=2时，无极大值；当1＜＜2时的极大值点位；当＞2时的极大值点为

（2）在上至少存在一点，使＞成立，

等价于当时，＞

由（1）知，①当≤时，

函数在上递减，在上递增

∴

∴要使＞成立，必须使＞成立或＞成立

由＞，＜

由＞ 解得＜1

∵＜1，∴＜1

②当≥时，函数在上递增，在上递减

∴≤＜

综上所述，当＜1时，在上至少存在一点，使＞成立