Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A(1，)到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；

(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线＝1具有类似特性的性质并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又点A(1，)在椭圆上，因此＝1，b2＝3． 　　∴c2＝a2－b2＝1． 　　∴椭圆C的方程为＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1，0)． 　　(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x＝，y＝， 　　∴x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　∴＝1，即()2＋＝1为所求的轨迹方程． 　　(3)类似的性质为：若M、N是双曲线＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1． 　　又设点P的坐标为(x，y)， 　　由kPM＝，kPN＝得kPM·kPN＝． 　　将y2＝，n2＝代入，得kPM·kPN＝．