Question

【题目】已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线相切．

(1)求圆C的方程；

(2)设点，过点作直线与圆C交于两点，若，求直线的方程；

(3)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线，切点为求证：经过 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2) 或；(3) 见证明

【解析】

（1）设圆心，由直线和圆相切可得：，利用点到直线距离公式即可求得，问题得解。

（2）若直线的斜率不存在，即：，检验得：成立，若直线的斜率存在，可设直线：，由圆的弦长计算公式可得：，即可求得，问题得解。

（3）设，由题可得：经过，，的三点的圆是以为直径的圆，即可求得该圆的方程为：，列方程即可求得定点的坐标为，，问题得解。

（1）解：设圆心，圆心到直线的距离为

则由直线和圆相切可得：，

可得，解得（负值舍去），

即圆的方程为；

（2）解：若直线的斜率不存在，即：，

代入圆的方程可得，，即有，成立；

若直线的斜率存在，可设直线：，

即为，

圆到直线的距离为，

由，即有，

解得，即，解得，则直线的方程为，

所以的方程为或；

（3）证明：由于是直线上的点，

设，

由切线的性质可得，

经过，，的三点的圆是以为直径的圆，

则方程为，

整理可得，

令，且.

解得或.

则有经过，，三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.