Question

已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  )
• B、(

  ln3

  9

  ，

  1

  3e

  )
• C、(

  ln3

  9

  ，

  1

  2e

  )
• D、(

  ln3

  9

  ，

  ln3

  3

  )

Answer 1

分析：可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，可转化成“f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=

f(x)

x

有三个解”，最后转化成y=a与h（x）=

f(x)

x

的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h（x）的图象，即可求出所求．

解答：解：设x∈[3，9），则

x

3

∈[1，3）
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（

x

3

）=ln

x

3

，
∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），
∴f（

x

3

）=f（x）=ln

x

3

，
∴f（x）=

lnx，1≤x＜3 ln x 3 ，3≤x＜9

，
∵在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，
∴f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=

f(x)

x

有三个解，
则y=a与h（x）=

f(x)

x

的图象有三个交点，
当x∈[1，3），h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
∴当x=e处，函数h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，3）上取最大值

1

e

，
当x∈[3，9），h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

，则h′（x）=

1-ln x 3

x2

=0，解得x=3e，
∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0即函数h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减，
∴当x=3e处，函数h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

在[3，9）上取最大值

1

3e

，
根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）=

1

e

，h（3）=0，h（3e）=

1

3e

，h（9）=

ln3

9

，画出函数的大值图象，
根据图象可知y=a与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e） 上两个交点，
∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（

ln3

9

，

1

3e

）．
故选：B．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．