Question

【题目】已知函数 .
（I）若曲线 存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（II）求 的单调区间；
（III）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.

Answer 1

【答案】解：（I）由 得 .
由已知曲线 存在斜率为-1的切线，所以 存在大于零的实数根，
即 存在大于零的实数根，因为 在 时单调递增，
所以实数a的取值范围 .
（II）由 可得
当 时， ，所以函数 的增区间为 ；
当 时，若 ， ，若 ， ，
所以此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
（III）由 及题设得 ，
由 可得 ，由（II）可知函数 在 上递增，
所以 ，取 ，显然 ，
，所以存在 满足 ，即存在 满足 ，所以 ， 在区间（1，+∞）上的情况如下：

	－	0	+
	↘	极小	↗

所以当-1<a<0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.
【解析】（1）由已知曲线 y = f ( x ) 存在斜率为-1的切线，等价于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的实数根,结合二次方程实根的分布求a的范围;
(2)先对函数求导,对参数a的取值分类讨论得到函数的单调区间;
(3)要证g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在极小值,则g'(x)在对应区间中有异号零点,根据(2)的结论求得a的范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．