Question

设椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，长轴的长等于，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A₁，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为，，证明为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率、长轴、及a²=b²+c²的关系、椭圆的标准方程即可得出；
（2）利用椭圆的标准方程、直线的斜率计算公式即可证明．
解答：解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），
由已知得 ，，
∴，c=1，
又a²=b²+c²，∴b²=2．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由椭圆方程得，，设M点坐标（x，y），
则，
∵，，
∴．
∴是定值．
点评：视力掌握椭圆的离心率、长轴、及a²=b²+c²的关系、椭圆的标准方程、直线的斜率计算公式是解题的关键．