Question

已知二次函数的对称轴为x=-,截x轴上的弦长为4，且过点（0，-1），求二次函数的解析式.

Answer 1

解法一：设二次函数解析式为y=ax²+bx+c,

依题意有x=-=-.                                                             ①

图象过点（0，-1），则有c=-1.                                                    ②

又截轴的弦长为4，设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂,由韦达定理有

|x₁-x₂|==4.                      ③

由①②③式联立解得a=,b=，c=-1.

∴二次函数解析式为

y=x²+x-1.

解法二：设y=a(x+)²+m,由条件得

-1=2a+m.                                                                               ①

弦长为4,令y=0,(x+)²=-,

则有x=-±.

由|x₁-x₂|=4,

∴2=4.                                                                         ②

联立①②式解得a=,m=-2.

∴二次函数解析式为

y=(x+)²-2.

解法三：∵对称轴为x=-,又截x轴的弦长为4，则图象与x轴的交点为x₁=-2-,x₂=2-.

设二次函数为y=a(x+2+)(x-2+),

又（0，-1）在图象上，则有-1=a(2+)(-2+).

∴a=,二次函数解析式为y=x²+x-1.