Question

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于P，Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上有一点M，AM：MC=3：4，求证：BM∥面APQ；
（Ⅲ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，因此AC=5，
从而，即AB⊥BC，
又因为AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
从而AB⊥平面BC₁，
又PC平面BC₁，
所以，AB⊥PQ。
（Ⅱ）证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连结PN，
因为AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7，
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ。
（Ⅲ）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，
则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7），
 ，
设平面APQ的法向量为，，
所以，得，
令a=1，则c=1，b=-1，，
 所以，直线BC与平面APQ所成角的正弦值为。