Question

【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图

（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；

①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；

②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？

参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．

【解析】

（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；

（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；

①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；

②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．

（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：

质量指标值的样本平均数为：

＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．

质量指标值的样本方差为

S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．

（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；

②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，

该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．