Question

（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B₁、C₁
（1）求证B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C—PB—A的大小为arctan2,试求球O的表面积。

Answer 1

（12分）

(1)连接AC₁、AB₁
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB
∴BP=CP
∠APB₁=∠APC₁
∵AP为球O的直径，∴AC₁⊥PC₁
AB₁⊥PB₁  ∴cos∠APB₁==cos∠APC₁=
∴PB₁=PC₁……………………（3分）
∴ ∴B₁C₁∥BC
又∵B₁C₁平面ABC，BC平面ABC
∴B₁C₁∥平面ABC  …………………………（6分）
（2）过点C作CD⊥AB于点D，则CD⊥平面ABP，过D作DE⊥PB于E，连CE，由三垂线定理知CE⊥PB
∴∠CED是二面角C—PB—A的平面角，即∠CED=arctan
∴tan∠CED=
∴DE=
sin∠PBA=
∴∠PBA=30°…………（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=
∴球O的半径R=1………………（11分）
∴球O的表面积为…………（12分）