Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两个三等分点.

（1）求证平面；

（2）若平面平面，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）连结BD，AC相交于O，证明BE∥OF，即可证明BE∥平面ACF；（2）过A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性质证明AH⊥平面PCD，从而证明AH⊥CD，然后利用线面垂直的性质证明PC⊥CD．

（Ⅰ）连接BD、AC，两线交于O，

∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），

∵F是DE的中点（由三等分点得到），

∴OF是△DEB的中位线，∴BE∥OF，

∵OF面ACF，BE面ACF，

∴BE平行平面ACF．

（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，∵平面PAC⊥平面PCD，

∴AH⊥平面PCD，∵CD平面PCD，∴AH⊥CD，

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD．又∵PA∩AH=A，∴CD⊥平面PAC，

∵PC平面PAC，

∴PC⊥CD．