Question

如图，角α 的顶点在直角坐标原点、始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4）．角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x 轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ=-2．
（1）求角α 的正弦值；   
（2）求∠POQ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得cos （

π

2

+α）=-

3

5

，从而可求得sin（α）的值；
（2）法一：利用∠POQ=（

π

2

+α）-β，利用两角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）；
法二：由题意结合tanβ=-2，可在角β 的终边上取一点Q（-1，2），

OQ

=（-1，2），

OP

=（-3，-4），∠POQ是

OQ

与

OP

的夹角，利用向量法即可求∠POQ的余弦值．

解答：解：（1）依题意，角

π

2

+α的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），…2
∴|OP|=5，…3
∴cos （

π

2

+α）=-

3

5

，…5
∴sinα=

3

5

，即角α 的正弦值为

3

5

．
（2）法一：cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）…8
=cos（

π

2

+α）cosβ-sin（

π

2

+α）sinβ…9
又cos （

π

2

+α）=-

3

5

，sin（

π

2

+α）=-

4

5

…10
∵tanβ=-2，β在第二象限，
∴sinβ=

2

5

，cosβ=-

1

5

，…11
∴cos∠POQ=（-

3

5

）×（-

1

5

）+（-

4

5

）×

2

5

=-

5

5

，…12
（2）法二：∵角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，
且tanβ=-2，
∴可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）．    …（8分）
∴

OQ

=（-1，2），

OP

=（-3，-4），∠POQ是

OQ

与

OP

的夹角． …（9分）
cos∠POQ=

OP • OQ

| OP |×| OQ |

              …（10分）
=

3-8

5 ×5

=-

5

5

．               …（12分）
注：第（1）题以下解法给（3分），∵角α的终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5，∴sinα=-

4

5

，即角α 的正弦值为-

4

5

．第（2）题根据sinα=-

4

5

，cosα=-

3

5

计算全部正确的给（6分）．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考察诱导公式及的作用及任意角的三角函数的定义，突出三角函数的综合应用，属于中档题．