市场营销人员对过去几年某种商品的价格及销售数量的关系作统计分析，发现有如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正常数）．已知目前该商品价格为每件a元，其销售数量为b件．
（1）当k=

时，该商品的价格上涨多少就能使销售总金额达到最大？
（2）为控制物价，物价部门规定该商品涨价幅度不得超过50%．在涨价过程中，求使销售金额不断增加时k的取值范围．

分析：（1）先设该商品价格上涨x%后，销售金额为y元，再写出y的函数解析式，最后求出当k=

时，y有最大值，即得上涨多少就能使销售总金额达到最大．
（2）根据由（1）得到的函数解析式，再结合二次函数的单调性，得到该函数在（0，50]上单调递增可得k的取值范围．

解答：解：设该商品价格上涨x%后，销售金额为y元，
则y=b×(1-kx%)•a×(1+x%)=ab(1-kx%)(1+x%)

&(x＞0)

（1）当k=

时，y=

×10-4[-(x-50)2+22500]
当x=50时，y有最大值，即上涨50%就能使销售总金额达到最大．
（2）y=ab×10-⁴（-kx²+100（1-k）x+10000）a，b，k＞0
由该函数在（0，50]上单调递增可得：

100(1-k)

≥50?k∈(0，

]

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数、二次函数的应用、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．

练习册系列答案

西城学科专项测试系列答案

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．
（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当k=

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？
（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．
（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当 $数学公式$ 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？
（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．

科目：高中数学 来源：月考题 题型：解答题

市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．
（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？
（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．

科目：高中数学 来源： 题型：

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析,发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x>0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前,该商品定价为a元,统计其销售数量为b个.

(1)当k=时,该商品的价格上涨多少,才能使销售的总金额达到最大?

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时k的取值范围.

同步练习册答案