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    【题目】在工业生产中，对一正三角形薄钢板（厚度不计）进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3（单位：米）的正三角形钢板（如图），沿平行于边的直线将剪去，得到所需的梯形钢材,记这个梯形钢板的周长为 （单位：米），面积为（单位：平方米）.

    （1）求梯形的面积关于它的周长的函数关系式；

    （2）若在生产中，梯形的面积与周长之比（即）达到最大值时，零件才能符合使用要求，试确定这个梯形的周长为多时，该零件才可以在生产中使用？

    【答案】（1）；（2）当米时，该零件才可以在生产中使用。

    【解析】

    （1）根据几何关系得到是正三角形，,，则 ，；（2）由（1）得 ，令 ，对此函数求导研究函数的单调性进而得到最值.

    （1）是正三角形，

    是正三角形，,，

    则 ，

    ，

    化简得.

    故梯形的面积关于它的周长的函数关系式为

    .

    （2）由（1）得 ，

    令 ，

    ，令，得或（舍去），

    列表如下：

    0

    单调递增

    极大值

    单调递减

    当时，函数有最大值，为.

    当米时，该零件才可以在生产中使用.

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