Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面α过点A1 ， B1 ， 且CC1∥平面α，平面α与三棱台的面相交，交线围成一个四边形．
（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；
（Ⅱ）若AB=8，BC=2B1C1=6，AB⊥BC，BB1=CC1 ， 平面BB1C1C⊥平面ABC，二面角B1﹣AB﹣C等于60°，求直线AB1与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）围成的四边形如图所示，它是平行四边形；（Ⅱ）∵AB⊥BC，平面BB1C1C⊥平面ABC，
且平面BB1C1C⊥平面ABC=BC，AB∩平面ABC
∴AB⊥平面BB1C1C，
∴AB⊥BB1 ， ∠B1BC是二面角B1﹣AB﹣C的平面角，
∴∠B1BC=60°，
以BC，AB为x，y轴，B为原点建立如图直角坐标系B﹣xyz，
由已知CC1∥α，B1M=α∩平面BB1C1C，知B1M∥CC1 ，
又由台体的性质，BC∥B1C1 ，
∴MCC1B1是平行四边形，
∴MC=B1C1=3，M是BC的中点，
又BB1=CC1 ， 则B1到平面ABC的距离，h= ，
同理N是AC的中点，
A（0，﹣8，0），B（0，0，0），B1（﹣ ，0， ），M（﹣3，0，0），
则 =（ ，0， ）， =（0，﹣4，0）， =（﹣ ，8， ）．
设平面α的法向量为 =（x，y，z），则
得一个法向量是 =（ ，0，﹣1），
设直线AB1与平面α所成角为θ，则sinθ=| |= ．
∴直线AB1与平面α所成角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）围成的四边形如图所示，它是平行四边形；（Ⅱ）以BC，AB为x，y轴，B为原点建立如图直角坐标系B﹣xyz，求出平面α的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB1与平面α所成角的正弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面的基本性质及推论(如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内;过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．