Question

如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x²（0<x<6）的图像，BA^x轴于A，曲线段OMB上一点M(t，f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，

（1）试用t表示切线PQ的方程；

（2）试用t表示出DQAP的面积g(t)；若函数g(t)在(m，n)上单调递减，试求出m的最小值；

（3）若S_DQAPÏ[，64]，试求出点P横坐标的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）设点M(t，t2)，又f/(x)=2x，∴ 过点M的切线PQ的斜率k=2t ∴ 切线PQ的方程为：y=2tx-t2 （2）由（1）可求得：P(，0)，Q(6，12t-t2) ∴ 由于g¢(t)=-12t+36，令g¢(t)<0，则4<t<12 考虑到0<t<6，∴ 4<t<6，∴ 函数g(t)的单调减区间是(4，6)，因此m的最小值为4． （3）由（2）知，g(t)在区间（4，6）上递减，∴ 此时SDQAPÎ(g(6)，g(4))=(54，64) 令g¢(t)>0，则0<t<4，∴ g(t)在区间(0，4)上递增，SDQAPÎ(g(0)，g(4))=(0，64) 又g(4)=64    ∴ g(t)的值域为(0，64) 由£g(t)£64，得1£t£6 ∴ ， ∴ 点P的横坐标Î[，3)．