Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．?
（1）若f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；?
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n），（|m|＜

π

2

）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

分析：（1）把向量代入数量积，利用二倍角和两角和的正弦函数化简为f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），通过f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，得到?sin(2x+

π

6

)=-

3

2

．?求出x的值．
（2）函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n），（|m|＜

π

2

）平移后得到函数y=f（x）的图象，说明两个函数表达式相同，比较两个函数的关系，即可求出实数m、n的值．

解答：解：（1）依题设f（x）=2cos²x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
由1+2sin（2x+

π

6

）=1-

3

，
得?sin(2x+

π

6

)=-

3

2

．?
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，
∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，?
∴2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

．

（2）函数y=2sin2x的图象按向量

c

=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，
即函数y=f（x）的图象．?
由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，?
∴|m|＜

π

2

，
∴m=-

π

12

，n=1．?

点评：本题是中档题，高考常考题型，考查二倍角公式，两角和的正弦函数，已知函数值求角，三角函数图象的平移等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．