Question

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由条件，化简可得．从而△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．哟与t=sinA+sinB=sin（A+），A∈（0，），故可求sinA+sinB的取值范围为
（Ⅱ）条件a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，分离参数可得≥k，从而问题转化为求的最小值，构造函数f（t）==t+=t+=t-1++1．从而问题可解．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，即，即．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），A∈（0，），
∴sinA+sinB的取值范围为．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵
=[c²sin²A（ccosA+c）+c²cos²A（csinA+c）+c²（csinA+ccosA）]
=[sin²AcosA+cos²A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
令t=sinA+cosA，t∈，-----------------------------------------（10分）
设f（t）==t+=t+=t-1++1．
f（t）=t-1++1，当t-1∈时 f（t）为单调递减函数，
∴当t=时取得最小值，最小值为2+3，即k≤2+3．
∴k的取值范围为（-∞，2+3]．--------------------------（14分）
点评：本题主要考查三角形形状的判断，考查不等式恒成立问题，有一定的综合性．