Question

2．若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$]=$\frac{1}{3}$，则f（log₂3）=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由已知可得f（x）+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=a恒成立，且f（a）=$\frac{1}{3}$，求出a=1后，将x=log₂3代入可得答案．

解答 解：∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$]=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=a恒成立，且f（a）=$\frac{1}{3}$，
即f（x）=-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a，f（a）=-$\frac{2}{{2}^{a}+1}$+a=$\frac{1}{3}$，
解得：a=1，
∴f（x）=-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+1，
∴f（log₂3）=$\frac{1}{2}$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数求值，正确理解对任意实数x，都有f[f（x）+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$]=$\frac{1}{3}$，是解答的关键．