Question

【题目】在多面体中，，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】试题分析：

（I）由AF与AB、AD垂直，得AF垂直于平面ABCD，从而得AF⊥AC，从而有BE⊥AC，在ABCD中利用勾股定理逆定理可得AC⊥BC，从而得AC⊥平面BCE，于是证得面面垂直；

（II）设点到面的距离为，点到直线的距离为，记二面角平面角为,则有，由体积法（四面体ADCE）可求得，在中可求得，从而可得结论.

试题解析：

（Ⅰ）证明：面，故

又，所以,①

在直角梯形中，，，，

可得,

由知,②

由①②知：面，进而面面.

（Ⅱ）设点到面的距离为，点到直线的距离为，

记二面角平面角为,

由，即得,

易得，则，进而,

即二面角的余弦值为.