Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

（1）证明：BD⊥PC；

（2）若AD=4，BC=2，设AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12

【解析】

（1）可证平面，从而得到．

（2）连结，根据可得，再根据均为等腰直角三角形得到梯形的高和的长度，从而得到的长度后可利用体积公式计算四棱锥的体积．

证明：（1）因为平面，平面，

所以．

又，是平面内的两条相交直线，

所以平面．

而平面，所以．

（2）连结，由（1）知，平面，

平面知，．在中，

因为，所以，得．

又因为四边形为等腰梯形，，

所以均为等腰直角三角形．

从而梯形的高为，

于是梯形面积．

在等腰直角三角形中，，

所以，．

故四棱锥的体积为．