Question

（文）若函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
（理） 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为________．

Answer 1

a≤-3    （）
分析：（文）由函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减转化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（理）可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得 =2（3λ²-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
解答：（文）解：∵函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值为-3，
∴a≤-3
∴故答案为：a≤-3．
（理）解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 ，则有Q（λ，λ，2λ）
，
当 =（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当 时，取得最小值 此时Q
故答案为：
点评：此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，属于基础题．本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 ，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．