Question

函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-1处取得极值，且f（x）的图象在P（1，f（1））处的切线平行于直线y=8x．
（I）求函数f（x）解要式和极值；
（II）对任意α，β∈R，求证|f(sinα)-f(cosβ)|≤

112

27

．

Answer 1

分析：（I）由

f′(-1)= 0 f′(1) = 8

 解出a 和 b 的值，可得函数f（x）的解析式以及其导数的解析式，
求出导数等于0的根，考查导数在根的两侧的符号，求出极值．
（II）结合 （I）求出 f（x）在[-1，1]上的最大和最小值，|f（sinα）-f（cosβ）|小于或等于
最大值减去最小值．

解答：解：（I）由

f′(-1)=0 f′(1)=8

得

3-2a+b=0 3+2a+b=8

得

a=2 b=1

，
∴f（x）=x³+2x²+x．
则f'（x）=3x²+4x+1，由f'（x）=0得x=-1或x=-

1

3

f(x)极大=f(-1)=0，f(x)极小=f(-

1

3

)=-

4

27

．
（II）∵α，β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，
由（I）知f（x）在[-1，1]上的最大，最小值分别为f(1)=4，f(-

1

3

)=-

4

27

，
∴|f(sinα)-f(cosβ)|≤4-(-

4

27

)≤

112

27

．

点评：本题考查函数在某处取的价值的条件，导数与切线斜率的关系，求函数在闭区间上的最值的方法．