Question

已知抛物线y=x²，直线y=kx+2，直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S（k）．
（1）当k=1时，求出此时S（k）对应的值；
（2）写出S（k）的表达式，并求出对应的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）先将两曲线联立，求得交点横坐标，用来确定积分区间，再根据定积分的几何意义，将所求面积转化为求定积分问题，最后由微积分基本定理计算结果即可
（2）先将两曲线联立，得曲线交点的横坐标x₁、x₂，从而得x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂的值（用k表示），再根据定积分的几何意义，将所求面积转化为求定积分问题，最后由微积分基本定理计算，将结果用x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂表示，代入即可得函数S（k）的表达式，最后利用换元法求函数的值域即可

解答：解：（1）将y=x+2代入y=x²，得x=-1或x=2
∴S（1）=∫_-1²（x+2-x²）dx=（

x2

2

+2x-

1

3

x3）|_-1²=（2+4-

8

3

）-（

1

2

-2+

1

3

）=

9

2

∴S（1）=

9

2

（2）将y=kx+2代入y=x²，得x₁=

k- k2+8

2

或x₂=

k+ k2+8

2

，
∴x₁-x₂=-

k2+8

，x₁+x₂=k，x₁x₂=-2
∴S（k）=

∫

x2 x1

(kx+2-x2)dx=（

kx2

2

+2x-

1

3

x3）

|

x1 x2

=（

kx 12

2

+2x₁-

1

3

x₁³）-（

kx 22

2

+2x₂-

1

3

x₂³）=（x₁-x₂）[

k

2

（x₁+x₂）+2-

(x1+x2)2-x1x2

3

]=-

k2+8

（

k2

2

+2-

k2+2

3

）=-

(k2+8) 3

6

设t=

k2+8

，则t≥2

2

，则y=

t3

6

≥

(2 2 )3

6

=

8 2

3

∴S（k）=-

(k2+8) 3

6

，此函数的最小值为

8 2

3

，无最大值

点评：本题综合考查了定积分的几何意义，利用微积分基本定理求定积分的方法，一元二次方程根与系数的关系及其应用