Question

如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E，F分别是BC，A₁D₁的中点．
（1）求证：四边形B₁EDF为菱形；
（2）求A₁C与DE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证四边形B₁EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；
（2）根据异面直线所成角的定义，把直线A₁C平移和直线DE相交，找到异面直线A₁C与DE所成的角，解三角形即可求得结果．

解答：解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，
易证：FHBB₁为矩形，
因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．
又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，
∴FB₁∥DE，FB₁=DE，
∴FB₁ED为平行四边形．
又∵FD=DE=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四边形B₁EDF为菱形．
（2）连接AC交DE于点O，
则

AO

OC

=

DO

OE

=

AD

EC

=

2

1

．
过O点作OM∥A₁C交AA₁于点M，
则∠MOD或其补角为DE与A₁C所成的角．
在△MOD中，OD=

2

3

DE=

2

3

×

5

2

a=

5

3

a，
MO=

2

3

A₁C=

2

3

×

3

a=

2 3

3

a，
MD=

( 2 3 a)2+a2

=

13

3

a，
cos∠MOD=

15

15

．
∴A₁C与DE所成的角的余弦值等于

15

15

．

点评：此题是个中档题．考查异面直线所成的角和棱柱的结构特征，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．