Question

第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，
求证：；
（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，求的值

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3）

本试题主要考查了双曲线的运用。
解：（1）设的坐标分别为----------------1分
因为点M在双曲线C上，所以，即，所以------2分
在中，，，所以-------3分
由双曲线的定义可知：
故双曲线C的方程为：-------------------4分
（2）①当切线l的斜率存在
设，切线的方程为：
代入双曲线C中，化简得： 
所以-------------------6分
因为直线l与圆O相切，所以，代入上式，得-----------7分
设点M的坐标为，则

所以-------------------8分
即|AB|=2|OM|成立
②当切线l的斜率不存在时，
，
即|AB|=2|OM|成立-------------------10分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为

------11分
设双曲线C上的点P(x₀,y₀)，
则点P到两条渐近线的距离分别为--------------13分
因为P(x₀,y₀)，在双曲线C：上，所以
故-------------------14分
设 -------------15分
-----16分