Question

（2011•东城区二模）已知椭圆的中心在原点O，离心率e=

3

2

，短轴的一个端点为（0，

2

），点M为直线y=

1

2

x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为短轴的一个端点为（0，

2

），可得b的值，因为离心率e=

3

2

，得

c

a

=

3

2

，再根据a，b，c的关系式，就可求出a的值，椭圆的方程可求．
（Ⅱ）要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形，只需证直线MA，MB的倾斜角互补即可，也即直线MA，MB的斜率互为相反数．可分别用A，B点坐标表示直线MA，MB的斜率，再计算k₁+k₂，消去参数，看结果是否为0．若是0，则问题得证．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0），
则

c a = 3 2 b= 2

解得a=2

2

．
所以椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1                  
（Ⅱ）由题意M（2，1），设直线l的方程为y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

 得x²+2mx+2m²-4=0，
设直线AM，MB的斜率分别为k₁，k₂，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x2-2

．
由x²+2mx+2m²-4=0，
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m -1)(x2-2)+( 1 2 x2+m -1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)( -2m )-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4 -2m2+4m -4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0．
即k₁+k₂=0．
故直线MA，MB与X轴始终围成一个等腰三角形．

点评：本题考查了利用椭圆性质求椭圆方程，以及直线与椭圆位置关系的判断，做题时要细心．