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    已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
    23
    an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)    ，
    其中λ为实数，n为正整数．
    （1）对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；
    （2）证明：当λ≠18时，数列 {bn} 是等比数列；
    （3）设Sn为数列 {bn} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
    分析：（1）假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，由题意知（
    2
    3
    λ-3    ）2=λ(
    4
    9
    λ-4)?
    4
    9
    λ    2 -4λ+9=
    4
    9
    λ2-4λ?9=0    ，矛盾．所以{an}不是等比数列．
    （2）由题设条件知b1=-（λ+18）≠0．bn≠0，∴
    bn+1
    bn
    =-
    2
    3
    (n∈Nn)    ，故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
    2
    3
    为公比的等比数列．
    （3）由题设条件得 bn=-(λ+18)•(-
    2
    3
    )n-1    ，Sn=-
    3
    5
    (λ+18)•[1-(-
    2
    3
    )n]    ，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
    解答：解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，（2分）
    即（
    2
    3
    λ-3    ）2=λ(
    4
    9
    λ-4)?
    4
    9
    λ    2-4λ+9=
    4
    9
    λ2-4λ?9=0    ，矛盾．
    所以{an}不是等比数列．（4分）
    （2）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
    2
    3
    an-2n+14）
    =-
    2
    3
    （-1）n•（an-3n+21）=-
    2
    3
    bn（7分）
    当λ≠-18时，b1=-（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴
    ba+1
    bn
    =-
    2
    3
    （n∈N+）．（8分）
    故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
    2
    3
    为公比的等比数列（9分）
    （3）当λ=-18时，bn=0，从而Sn=0．成立．（10分）
    当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-
    2
    3
    )n-1    ，于是Sn=-
    3
    5
    (λ+18)•[1-(-
    2
    3
    )n]    ，（12分）
    要使对任意正整数n，都有Sn＞-12．
    即-
    3
    5
    (λ+18)•[1-(-
    2
    3
    )n]＞12?λ
    20
    1-(-
    2
    3
    )    n
    -18    ．
    令f(n)=1-(-
    2
    3
    )n，则
    当n为正奇数时，1＜f(n)≤
    5
    3
    ：
    当n为正偶数时，
    5
    9
    ≤f(n)＜1    ，∴f(n)的最大值为f(1)=
    5
    3
    ．（16分）
    于是可得λ＜20×
    3
    5
    -18=-6    ．
    综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）
    点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．对于证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
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    已知数列{an}和{bn}满足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
    		a1an+1
    (n∈N*)    ．且{bn}是以
    a为公比的等比数列．
    （Ⅰ）证明：aa+2=a1a2；
    （Ⅱ）若a3n-1+2a2，证明数例{cx}是等比数例；
    （Ⅲ）求和：
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +
    1
    a4
    +    …+
    1
    a2n-1
    +
    1
    a2n
    ．

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    已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
    2n
    3
    +
    4
    9
    ．
    （1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
    （2）当λ=-
    1
    2
    时，试判断{bn}是否为等比数列．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且数列{an+1-an}是等差数列，n∈N*，
    （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
    12
    ，3]    ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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    已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
    23
    an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
    （Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
    （Ⅱ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

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    （2011•孝感模拟）已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
    bn
    1-4 
    a
    2
    n
    ．
    （I）证明：数列{
    1
    an
    }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
    1
    b2b3…bnbn+1 
    对任意正整数n都成立的最大实数k．

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