Question

6．某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天气温，得到如下统计表：

曰期	8月1曰	8月7日	8月14日	8月18日	8月25日
平均气温（℃）	33	30	32	30	25
用电量（万度）	38	35	41	36	30

$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象預报9月3日的平均气温是 23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）
（2）请从表中任选两天，记用电量（万度）超过35的天数为ξ，求ξ的概率分布列，并求其数学期望和方差．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=23时$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（2）根据题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的概率分布列，计算数学期望和方差．

解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（33+30+32+30+25）=30，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+35+41+36+30）=36，
又$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，
∴回归系数为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{5446-5×30×36}{4538-5{×30}^{2}}$=$\frac{23}{19}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=36-$\frac{23}{19}$×30=-$\frac{6}{19}$，
∴回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$x-$\frac{6}{19}$；
当x=23时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$×23-$\frac{6}{19}$=$\frac{523}{19}$≈27.53，
即预测9月3日的用电量约为28万度；（结果保留整数）
（2）根据题意知，ξ的可能取值为0，1，2；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{3}^{2}•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
所以ξ的概率分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=1.2，
方差为D（ξ）=（0-1.2）²×$\frac{1}{10}$+（1-1.2）²×$\frac{6}{10}$+（2-1.2）²×$\frac{3}{10}$=0.36．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的计算问题，是中档题．