Question

已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设动点P（x，y），
∵点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
∴

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=

4

1+ (x+1)(x-1)+y2 (x-1)2+y2 • (x+1)2+y2

，
整理，得

x2

3

+

y2

2

=1，
∴P的轨迹C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，∴设l：x=my+1，
代入椭圆方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，
△=16m²+16（2m²+3）＞0．
y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=-

4

2m2+3

…①，
假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，
其充要条件为

OQ

=

OA

+

OB

，
则点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
由点Q在椭圆上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．
又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6．
∴2x₁x₂+3y₁y₂=3…②
将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1代入，
由①②解得m=±

2

2

．
当m=

2

2

时，解得y1=-

2

，y2=

2

2

．
从而x1=0，x2=

3

2

∴A(0，-

2

)，B(

3

2

，

2

2

)，
∴

OA

=(0，-

2

)，

OB

=(

3

2

，

2

2

)，
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB |

=-

2 11

，sin∠AOB=

3

11

．S平行四边形OAQB=|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

3

2

2

．
同理当m=-

2

2

时，S平行四边形OAQB=

3

2

2

．
综上，存在满足条件的点P，使得四边形OAPB为平行四边形，
且该平行四边形的面积为

3

2

2

．