Question

5．以下判断正确的序号是（2）（3）（4）
（1）函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x₀）=0是x₀为函数f（x）极值点的充要条件．
（2）$\int_0^4{（|x-1|+|x-3|）}dx$=10．
（3）已知函数f（x）=x³+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（-2，$\frac{2}{3}$）．
（4）设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N，若△ABC的内角A满足${f_1}（A）+{f_2}（A）+…+{f_{2014}}（A）=\frac{1}{3}$，则sin2A=$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 由极值点的定义和充分必要条件的定义，结合f（x）=x³，即可判断（1）；
讨论x的范围，去绝对值，求出被积函数，计算即可判断（2）；
判断f（x）为奇函数且为增函数，将不等式化为mx+x-2＜0，再由一次函数的单调性，可得不等式组，解得即可判断（3）；
求出导数，可得f_n+4（x）=f_n（x），可得一个周期内的函数值和为0，化简原式可得cosA-sinA=$\frac{1}{3}$，平方运用同角关系和二倍角的正弦公式，即可判断（4）．

解答 解：（1）函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x₀）=0是x₀为函数f（x）极值点的必要条件，
比如f（x）=x³，有f′（x）=3x²，f′（0）=0，但x=0不为极值点，故（1）错；
（2）$\int_0^4{（|x-1|+|x-3|）}dx$=${∫}_{0}^{1}$（1-x+3-x）dx+${∫}_{1}^{3}$（x-1+3-x）dx+${∫}_{3}^{4}$（x-1+x-3）dx
=（4x-x²）|${\;}_{0}^{1}$+2x|${\;}_{1}^{3}$+（x²-4x）|${\;}_{3}^{4}$=4-1+6-2+16-16-（9-12）=10．则（2）正确；
（3）函数f（x）=x³+x，f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数且为增函数，
对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，即有f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
即有mx-2＜-x，即为mx+x-2＜0，则-2x+x-2＜0且2x+x-2＜0，解得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，则（3）正确；
（4）设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N，
可得f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，…可得f_n+4（x）=f_n（x），
由于f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
若△ABC的内角A满足${f_1}（A）+{f_2}（A）+…+{f_{2014}}（A）=\frac{1}{3}$，即有f₁（A）+f₂（A）=$\frac{1}{3}$，
可得cosA-sinA=$\frac{1}{3}$，平方可得cos²A-2cosAsinA+sin²A=$\frac{1}{9}$，即有1-sin2A=$\frac{1}{9}$，
则sin2A=$\frac{8}{9}$．则（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是函数的极值点与导数为0的点的关系、定积分的计算和函数的奇偶性和单调性的运用，以及不等式恒成立问题的解法、导数的运算性质和三角函数的求值，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．