Question

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-ABF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，

DN

，

BF

再求cos＜

BF

，

DN

＞即可求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
法二：在线段BC上取点M，使BM=BF，说明∠DNM或其补角为DN与BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，利用V_N-ABF=V_A-BNF=V_D-BNF求三棱锥N-ABF的体积．

解答：解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB
则平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
则D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
则D在平面BCEF上的射影即为点B，
故BD⊥平面BCEF．（4分）

（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=

3

，DN=2

3

，∴折后图中BD=3，BC=3
∴N（0，

3

，0），D（0，0，3），C（3，0，0）

NF

=

1

3

CB

=（-1，0，0）
∴

BF

=

BN

+

NF

=（-1，

3

，0）

DN

=（0，

3

，-3）
∴cos＜

BF

，

DN

＞=

BF • DN

| BF |•| DN |

=

3

4

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

3

4

（9分）

法二．在线段BC上取点M，使BM=NF，则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．
又MN=BF=2，DM=

BD2+BM2

=

10

，DN=2

3

．
∴cos∠DNM=

DN2MN2-DM2

2DN•MN

=

3

4

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

3

4

（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF=

1

3

S△BNF•BD=

3

2

即所求三棱锥的体积为

3

2

（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角，棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．