设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
证明见试题解析.
【解析】
试题分析：充要条件的证明要分别证明充分性和必要性，
.本题充分性是由
证明
为奇函数，必要性是由为奇函数证明.
试题解析：证明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0， 2
∴f(x)＝x|x| 3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|， 4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数 6
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立 7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立 8
令x＝0，则b＝－b，∴b＝0， 10
令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0 11
即a2＋b2＝0 12
考点：充要条件
小学课时特训系列答案科目：高中数学 来源：2002年全国各省市高考模拟试题汇编 题型：044
设函数f(x)＝
(x－1)(a＞0，且a≠1)，当点P(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，点Q(3x，
)是函数y＝g(x)图象上的点．
(Ⅰ)写出函数y＝g(x)的解析式；
(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集．
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科目：高中数学 来源：广州市2008届高中教材变式题2：二次函数 题型：022
设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列4个命题：
①当c＝0时，y＝f(x)是奇函数；
②当b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；
③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；
④方程f(x)＝0至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为________．
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科目：高中数学 来源：天津市耀华中学2012届高三寒假验收考试数学理科试题 题型：013
设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有
①当b＞0时，函数f(x)在R上是单调增函数；
②当b＜0时，函数f(x)在R上有最小值；
③函数f(x)的图象关于(0，c)对称；
④方程f(x)＝0可能有三个实数根．
A．①③
B．①④
C．①②④
D．①③④
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科目：高中数学 来源：广东省云浮罗定中学2012届高三11月月考数学理科试题 题型：044
已知二次函数y＝g(x)的图象经过点O(0，0)、A(m，0)与点P(m＋1，m＋1)，设函数f(x)＝(x－n)g(x)在x＝a和x＝b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
(1)求g(x)的二次项系数k的值；
(2)比较a，b，m，n的大小(要求按从小到大排列)；
(3)若m＋n≤2
，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y＝f(x)均相切，求y＝f(x)．
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年宁夏高三第五次月考理科数学试卷（解析版） 题型：填空题
设函数f(x)＝
，D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
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