Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12，可得2a=8，2a+2c=12，从而可求椭圆的方程；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=

1

4

x2+8，根据x∈[-4，4]，可得x²∈[0，16]，从而可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-8），与椭圆方程联立

y=k(x-8) x2 16 + y2 12 =1

，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，从而可建立方程，故可解．

解答：解：（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b²=a²-c²=12，∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=

1

4

x2+8
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，∴8≤

PF1

•

PF2

≤12
当且仅当点P为短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值8；点P为长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值12．
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组

y=k(x-8) x2 16 + y2 12 =1

，消元得（4k²+3）x²-64k²x+16（16k²-3）=0
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴△=64²k⁴-64（4k²+3）（16k²-3）＞0
∴-

1

2

＜k＜

1

2

设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为T（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=

64k2

4k2+3

，x0=

x1+x2

2

=

32k2

4k2+3

，y0=k(x0-5)=

-24k

4k2+3

∴T（

32k2

4k2+3

，

-24k

4k2+3

）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵kBT=

-24k 4k2+3

32k2 4k2+3 -2

=

-24k

24k2-6

∴k•kBT=

-24k2

24k2-6

=-1，方程无解
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查探究性问题，通常假设存在，从而问题得解．