Question

已知函数f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域．
（3）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，易得最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得函数的单调区间；
（2）由x的范围，结合不等式的性质和三角函数的运算可得；
（3）由题意可得g（x）的解析式为g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，求其对称轴，可得m的不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，
∴f（x）=1+

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函数的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
故函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的值域为[1，4]．
（3）∵函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，其对称轴满足2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得m=

kπ

2

+

π

6

，
∵m＞0，
∴当k=0时，实数m的最小值

π

6

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和值域的求解，属中档题．