Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{x_n}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（x_n）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定义判断．
（2）由易知0＜x_n＜1，由主条件得和f（x）在（-1，1）上为奇函数得f（x_n+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列求解．
（3）由（2）将成立转化为恒成立，由得求解．
解答：解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由易知：{x_n}中0＜x_n＜1，
∵且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（x_n+1）=2f（x_n）由，
∴f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列∴f（x_n）=2^n-1
（3）
假设存在m使得成立，即恒成立，
∵，
∴，
∴m≥16，
∴存在自然数m≥16，
使得成立，此时最小的自然数m=16．
点评：本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式，进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题．