Question

在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10n mile的位置C．

（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

Answer 1

（I）船的行驶速度为（海里/小时）.（II）船会进入警戒水域.

试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，从而可求出船的行驶速度.
(II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系，因而可求出直线l的方程，以及E点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论.
（I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一  如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x₁=y₁= AB=40,
x₂=ACcos,
y₂=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
从而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.
点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.